El Hotel Infinito de Hilbert

 El Hotel Infinito de Hilbert o el Gran Hotel de Hilbert es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert. Esta metáfora explica, de manera sencilla e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático del infinito. Este hotel era muy especial, porque contaba con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito.

(a) Una noche lluviosa llega al hotel un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que dice que está totalmente lleno. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. La recepcionista encuentra una solución: le pide al huésped de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los huéspedes se han movido de habitación, la primera habitación queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el huésped que se encontraba en el último cuarto.

 (b) Después llegó un autobús con 50 pasajeros para alojarse en el hotel y el cartelito seguía pegado “No hay cupo”. Los pasajeros ruegan que les den alojamiento en el hotel porque está muy entrada la noche y el camino es peligroso. Se oían lejanos aullidos de lobos que helaban la sangre. Entonces la recepcionista resuelve decirle al que está en la habitación 1, que se mude para la habitación 51; el que está en la 2, para la 52; el que está en la 3, para la 53 y así sucesivamente. Y así quedaron libres las primeras 50 habitaciones, y a dormir tranquilos los pasajeros del autobús ¿Qué estaría pasando con los huéspedes de las últimas habitaciones?

 (c) Un día, estando el hotel lleno, llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenía una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteó a la recepcionista. Ella no podía recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros al desplazarse nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Como había infinitos turistas, éstos requerían infinitas habitaciones ... "¿Qué hago?", decía la mujer.
 Se le vino una idea maravillosa. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. Es decir, el de la habitación 1 se fue a la 2; el de la 2, a la 4; el de la 3, a la 6; el de la 4, a la 8, y así sucesivamente. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres, es decir, las habitaciones 1, 3, 5, 7,… Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas en las habitaciones impares.

 (d) Un buen día llegó otra excursión con infinitos turistas y el hotel, como siempre, seguía lleno. La muchacha optó por su fórmula que le había dado resultado. Y todos los turistas contentos. "¡Qué hotel!", se decían. Turista que llegaba no se quería ir y se quedaba a vivir en el hotel. Por esta razón siempre el hotel estaba repleto.

 (e) La muchacha de recepción no tenía descanso, porque sin parar le seguían llegando excursiones con infinitos turistas; y ella, muy eficientemente alojaba a toda aquella gente, y todos los turistas estaban radiantes de felicidad en ese hotel.

Si alguna de las excursiones de infinitos turistas no aceptan el método de alojamiento de la recepcionista, ¿qué otra forma les propondría?

¿Qué les pareció el Gran Hotel de Hilbert? ¿Les gustaría pasar una noche en ese hotel? ¿Y cómo podrías tener cupo en el Hotel de Hilbert si siempre está lleno?

Al hotel, siempre lleno, están llegando turistas continuamente, y siempre consiguen alojamiento, gracias a la habilidad de la recepcionista. Una pregunta le asaltaría a uno: ¿el hotel cada día tiene más gente? ¿Qué piensan ustedes? ¿Hay cada día más turistas en el hotel?

¿Qué opinan de la noción de infinito? ¿El infinito es un número?

Existen conjuntos numéricos infinitos ¿Piensas tú que en la realidad concreta existen colecciones infinitas de objetos? ¿Se puede decir que en este planeta han vivido una colección infinita de seres humanos?