Paradoja de Duval

No se puede acceder a los objetos matemáticos directamente si no a través del uso de signos, pero los signos no son los objetos matemáticos (Duval, 2006) .

No puede haber comprensión en Matemática si no se distingue un objeto de su representación. 

Los ciegos y el elefante

De acuerdo a las consideraciones teóricas de Duval, para la construcción de conceptos matemáticos no basta trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino también realizar las tareas de conversión de una representación a otra, y viceversa. Son éstas las que propiciarán la construcción de los conceptos matemáticos .

El conocer varios registros de representación semiótica para un mismo concepto matemático es fundamental para no confundir el objeto matemático con sus representaciones.

El problema se presenta cuando los conocimientos son requeridos para ser usados en otro contexto, diferente a aquel que se utilizó para llevar a cabo el aprendizaje y que incluye registros semióticos diferentes. Cuando esto sucede el estudiante no puede realizar transferencia alguna de los conocimientos aprendidos. 

 Del objeto matemático sólo se puede hablar mediante sus representaciones, entonces ¿cómo entender las relaciones entre las representaciones y un objeto que no existe antes de representarlo? 

No puede haber comprensión en Matemática si no se distingue un objeto de su representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números, funciones, rectas, etc.) con sus representaciones (numerales, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras, etc.), pues un mismo objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes. Toda confusión entre el objeto y su representación provoca, en un plazo más o menos amplio, una pérdida en la comprensión.

 

El Hotel Infinito de Hilbert

 El Hotel Infinito de Hilbert o el Gran Hotel de Hilbert es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert. Esta metáfora explica, de manera sencilla e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático del infinito. Este hotel era muy especial, porque contaba con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito.

(a) Una noche lluviosa llega al hotel un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que dice que está totalmente lleno. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. La recepcionista encuentra una solución: le pide al huésped de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los huéspedes se han movido de habitación, la primera habitación queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el huésped que se encontraba en el último cuarto.

 (b) Después llegó un autobús con 50 pasajeros para alojarse en el hotel y el cartelito seguía pegado “No hay cupo”. Los pasajeros ruegan que les den alojamiento en el hotel porque está muy entrada la noche y el camino es peligroso. Se oían lejanos aullidos de lobos que helaban la sangre. Entonces la recepcionista resuelve decirle al que está en la habitación 1, que se mude para la habitación 51; el que está en la 2, para la 52; el que está en la 3, para la 53 y así sucesivamente. Y así quedaron libres las primeras 50 habitaciones, y a dormir tranquilos los pasajeros del autobús ¿Qué estaría pasando con los huéspedes de las últimas habitaciones?

 (c) Un día, estando el hotel lleno, llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenía una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteó a la recepcionista. Ella no podía recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros al desplazarse nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Como había infinitos turistas, éstos requerían infinitas habitaciones ... "¿Qué hago?", decía la mujer.
 Se le vino una idea maravillosa. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. Es decir, el de la habitación 1 se fue a la 2; el de la 2, a la 4; el de la 3, a la 6; el de la 4, a la 8, y así sucesivamente. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres, es decir, las habitaciones 1, 3, 5, 7,… Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas en las habitaciones impares.

 (d) Un buen día llegó otra excursión con infinitos turistas y el hotel, como siempre, seguía lleno. La muchacha optó por su fórmula que le había dado resultado. Y todos los turistas contentos. "¡Qué hotel!", se decían. Turista que llegaba no se quería ir y se quedaba a vivir en el hotel. Por esta razón siempre el hotel estaba repleto.

 (e) La muchacha de recepción no tenía descanso, porque sin parar le seguían llegando excursiones con infinitos turistas; y ella, muy eficientemente alojaba a toda aquella gente, y todos los turistas estaban radiantes de felicidad en ese hotel.

Si alguna de las excursiones de infinitos turistas no aceptan el método de alojamiento de la recepcionista, ¿qué otra forma les propondría?

¿Qué les pareció el Gran Hotel de Hilbert? ¿Les gustaría pasar una noche en ese hotel? ¿Y cómo podrías tener cupo en el Hotel de Hilbert si siempre está lleno?

Al hotel, siempre lleno, están llegando turistas continuamente, y siempre consiguen alojamiento, gracias a la habilidad de la recepcionista. Una pregunta le asaltaría a uno: ¿el hotel cada día tiene más gente? ¿Qué piensan ustedes? ¿Hay cada día más turistas en el hotel?

¿Qué opinan de la noción de infinito? ¿El infinito es un número?

Existen conjuntos numéricos infinitos ¿Piensas tú que en la realidad concreta existen colecciones infinitas de objetos? ¿Se puede decir que en este planeta han vivido una colección infinita de seres humanos?

Nada, cero, silencio y vacío

Entre la nada y el todo...algo te digo:

"Los conceptos de ausencia, carencia, falta, inexistencia,no-algo, no-ser: tales ideas pueden condensarse, a su vez, en cuatro paradigmas del pensamiento, concomitantes con otras tantas ramas del saber: la nada en filosofía, el cero en matemática,el silencio en el lenguaje y el vacío en física.

La nada, ocupa capítulos enteros de la historia de la filosofía ¿Dónde está la nada?, ¿Venimos de la nada?,¿Vamos hacia la nada?, ¿Acaso la conciencia puede ser, al fin de cuentas, un producto de la nada?Al mismo tiempo, otras consultas surgieron, inversamente:¿por qué tiene que haber algo?, como se preguntó Leibniz.

Entre tanto, la concepción de la nada en la filosofía hindú fue fundamental en el hallazgo del cero y vinculó ambos conceptos. El cero es la nada numérica.

Por su parte, el silencio es la interrupción del discurso. Es el espacio en blanco del texto del que hablaba Baudelaire.

Y, finalmente, el vacío. Esta idea también tardó milenios en comprenderse, aunque fuese a medias. En esa línea,también demoró en ser negada. Ahí estaba el éter: inasible,inaprehensible, incomprensible. Como la nada. Como el cero. Como el silencio. El vacío es la nada material.

Nada, cero, silencio y vacío. El detrás del espejo de nuestro mundo.

Schopenhauer, heredero de la filosofía oriental, dijo dialécticamente que hay nada porque hay algo.

El hombre interroga a la naturaleza y ésta le responde con sus leyes. Pero la nada es el silencio del cosmos.

Motivos de controversia, miedo y rechazo, la nada y el cero confluyen en el vacío silente como historia y como concepto.

Para inquietarnos aún más con los significantes, el vacío, el último eslabón de la nada y del cero, es el arquitecto del mundo en el que vivimos.

Paradojas del no-ser y de lo que no existe. Desafío e interrogante que nos envía la naturaleza .

La nada En L’evolution creatrice, Bergson decía que la idea de la nada es “a menudo el escondido resorte, el invisible motor de la especulación filosófica”.

La nada no ocupa un lugar importante en la filosofía griega basada, fundamentalmente, en la concepción del ser. Por ello, la nada surge como consecuencia de la negación del ser; sólo cuando éste se niega aparece la nada.

Parménides, Platón y Aristóteles discurrieron sobre la nada, y “nada proviene de la nada” es una aseveración frecuente en la filosofía griega, pues lo contrario significaría negar el principio de causalidad. Lo que, obviamente,contradice al Génesis de la teología judeo cristiana.

Bergson, Kant, Spencer, Hegel, Heidegger, están entre los filósofos que se ocuparon de la nada desde distintas ópticas."

Nada, cero, silencio y vacío son conceptos relacionados entre sí pero pertenecientes a distintas ramas del saber. Nada, cero y silencio son inventos del intelecto humano pero el vacío pertenece a la naturaleza. Nada, cero y silencio son ideas. El vacío es materia (aunque sea inmaterial).

• El vacío es la nada de la física.
• El cero es la nada de la matemática.
• El silencio es la nada del lenguaje.
• La nada es la falta.
• La angustia es la falta de la falta.

Tomado de:
 http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110607090933AA9ABf0